概述

在计算机数据处理中，哈夫曼编码使用变长编码表对源符号（如文件中的一个字母）进行编码，其中变长编码表是通过一种评估来源符号出现机率的方法得到的，出现机率高的字母使用较短的编码，反之出现机率低的则使用较长的编码，这便使编码之后的字符串的平均长度、期望值降低，从而达到无损压缩数据的目的。

例如，在英文中，e的出现机率最高，而z的出现概率则最低。当利用哈夫曼编码对一篇英文进行压缩时，e极有可能用一个比特来表示，而z则可能花去25个比特（不是26）。用普通的表示方法时，每个英文字母均占用一个字节，即8个比特。二者相比，e使用了一般编码的1/8的长度，z则使用了3倍多。倘若我们能实现对于英文中各个字母出现概率的较准确的估算，就可以大幅度提高无损压缩的比例。

哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和，记为WPL=（W1L1+W2L2+W3L3+…+WnLn），N个权值Wi（i=1,2,…n）构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li（i=1,2,…n）。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。

基本术语

哈夫曼树又称为最优树.

1、路径和路径长度

在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。

2、结点的权及带权路径长度

若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。

3、树的带权路径长度

树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。

算法思想

假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，则哈夫曼树的构造规则为：

  1. 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；
  2. 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；
  3. 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；
  4. 重复2、3步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。

代码实现

C++实现：

#include <iostream>
#include <iomanip>

using namespace std;

//哈夫曼树的节点结构体
typedef struct
{
    int weight;                 //权值
    int parent, lchild, rchild; //父节点，左孩子，右孩子
} HTNode, *HuffmanTree;

//哈夫曼编码结构体
struct HCode
{
    int code[256];
    int start;
} hcode[1025];

int n, m;

//选择权值最小的两颗树
void selectMin(HuffmanTree tree, int n, int &s1, int &s2)
{
    s1 = s2 = 0;
    int i;
    for (i = 1; i < n; i++)
    {
        if (tree[i].parent == 0) //为根节点
        {
            //找两个根节点给s1，s2赋值
            if (s1 == 0)
                s1 = i;
            else
            {
                s2 = i;
                break;
            }
        }
    }
    //确保s1小于s2
    if (tree[s1].weight > tree[s2].weight)
        swap(s1, s2);
    //遍历剩下的部分，寻找最小的两个节点
    for (i += 1; i < n; i++)
    {
        if (tree[i].parent == 0)
        {
            if (tree[i].weight < tree[s1].weight)
            {
                s2 = s1;
                s1 = i;
            }
            else if (tree[i].weight < tree[s2].weight)
                s2 = i;
        }
    }
}

//构造有n个叶子节点的哈夫曼树
void createHuffmanTree(HuffmanTree &tree)
{
    // int n, m;
    cin >> n;
    m = 2 * n - 1; //n个叶节点构造的哈夫曼树右2*n-1个节点

    tree = new HTNode[m + 1];
    //初始化父节点和左右子节点都为0
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        tree[i].parent = tree[i].lchild = tree[i].rchild = 0;
    //输入权值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> tree[i].weight;
    tree[0].weight = m; //用0号节点保存节点数量

    //创建哈夫曼树
    for (int i = n + 1; i <= m; i++)
    {
        int s1, s2;                 //用于保存权值最小的两个节点
        selectMin(tree, i, s1, s2); //在1到i这个区间里找两个权值最小的节点，找到之后保存在s1，s2

        tree[s1].parent = tree[s2].parent = i;              //最小的两个节点合并，产生的新节点保存在i位置
        tree[i].lchild = s1;                                //新节点的左孩子为s1
        tree[i].rchild = s2;                                //新节点的右孩子为s2
        tree[i].weight = tree[s1].weight + tree[s2].weight; //新节点的权值为两个子节点权值之和
    }
}

void print(HuffmanTree tree)
{
    cout << "index weight parent lchild rchild" << endl;
    cout << left;
    for (int i = 1, m = tree[0].weight; i <= m; ++i)
    {
        cout << setw(5) << i << " ";
        cout << setw(6) << tree[i].weight << " ";
        cout << setw(6) << tree[i].parent << " ";
        cout << setw(6) << tree[i].lchild << " ";
        cout << setw(6) << tree[i].rchild << endl;
    }
}

//计算i节点的WPL
int WPL_(HuffmanTree tree, int i, int depth)
{
    if (tree[i].lchild == 0 && tree[i].rchild == 0) //叶节点
        return tree[i].weight * depth;
    else
        return WPL_(tree, tree[i].lchild, depth + 1) + WPL_(tree, tree[i].rchild, depth + 1);
}

//计算WPL（带权路径长度）
int WPL(HuffmanTree tree)
{
    //tree[0].weight之前存的节点数量，也就是最后构造出来的哈夫曼树根节点的下标
    return WPL_(tree, tree[0].weight, 0);
}

//创建哈夫曼编码
void createHCode(HuffmanTree tree, HCode code[])
{
    int father, child;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        HCode hc;
        hc.start = n; //开始位置设为n，倒序插入
        child = i;
        father = tree[i].parent;
        while (father) //父节点不为0，即没有遍历到根节点
        {
            if (tree[father].lchild == child)
                hc.code[hc.start] = 0; //左孩子编0
            else
                hc.code[hc.start] = 1; //右孩子编1
            hc.start--;
            child = father;
            father = tree[father].parent;
        }
        hc.start++;   //前面多减了一次1，加回去，记录哈夫曼编码最开始的字符位置
        code[i] = hc; //一个叶子节点编码完毕，存入数组
    }
}

void printCode(HCode hcode[])
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cout << "node " << i << ": ";
        for (int j = hcode[i].start; j <= n; j++)
            cout << hcode[i].code[j];
        cout << endl;
    }
}

int main()
{
    HuffmanTree tree;                    //创建指针
    createHuffmanTree(tree);             //创建哈夫曼树后指针指向该树
    createHCode(tree, hcode);            //进行哈夫曼编码
    print(tree);                         //输出节点信息
    printCode(hcode);                    //输出哈夫曼编码
    cout << "WPL=" << WPL(tree) << endl; //输出树的带权路径长度
    delete[] tree;                       //动态内存分配最后要回收
    return 0;
}

优化

C++：

#include <iostream>
#include <queue>
#include <iomanip>

using namespace std;

typedef struct Node
{
    int index;                  //保存下标
    int weight;                 //权值
    int parent, lchild, rchild; //父节点，左孩子，右孩子

    bool operator<(const Node &x) const
    {
        return weight > x.weight;
    }
} * HuffmanTree;

//构造有n个叶子节点的哈夫曼树
void createHuffmanTree(HuffmanTree &tree)
{
    int n, m;
    priority_queue<Node> q;

    cin >> n;
    m = 2 * n - 1;
    tree = new Node[m + 1];

    //初始化父节点和左右子节点都为0
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        tree[i].index = i;
        tree[i].parent = tree[i].lchild = tree[i].rchild = 0;
    }
    //输入权值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> tree[i].weight;
        q.push(tree[i]);
    }
    tree[0].weight = m; //用0号节点保存节点数量

    //创建哈夫曼树
    for (int i = n + 1; i <= m; i++)
    {
        int s1, s2; //用于保存权值最小的两个节点
        //堆顶的即为权值最小的节点
        s1 = q.top().index;
        q.pop();
        s2 = q.top().index;
        q.pop();

        tree[i].index = i;
        tree[s1].parent = tree[s2].parent = i;              //最小的两个节点合并，产生的新节点保存在i位置
        tree[i].lchild = s1;                                //新节点的左孩子为s1
        tree[i].rchild = s2;                                //新节点的右孩子为s2
        tree[i].weight = tree[s1].weight + tree[s2].weight; //新节点的权值为两个子节点权值之和
        q.push(tree[i]);
    }
}

void print(HuffmanTree tree)
{
    cout << "index weight parent lchild rchild" << endl;
    cout << left;
    for (int i = 1, m = tree[0].weight; i <= m; ++i)
    {
        cout << setw(5) << i << " ";
        cout << setw(6) << tree[i].weight << " ";
        cout << setw(6) << tree[i].parent << " ";
        cout << setw(6) << tree[i].lchild << " ";
        cout << setw(6) << tree[i].rchild << endl;
    }
}

//计算i节点的WPL
int WPL_(HuffmanTree tree, int i, int depth)
{
    if (tree[i].lchild == 0 && tree[i].rchild == 0) //叶节点
        return tree[i].weight * depth;
    else
        return WPL_(tree, tree[i].lchild, depth + 1) + WPL_(tree, tree[i].rchild, depth + 1);
}

//计算WPL（带权路径长度）
int WPL(HuffmanTree tree)
{
    //tree[0].weight之前存的节点数量，也就是最后构造出来的哈夫曼树根节点的下标
    return WPL_(tree, tree[0].weight, 0);
}

int main()
{
    HuffmanTree tree;
    createHuffmanTree(tree);
    print(tree);
    cout << "WPL=" << WPL(tree) << endl;
    delete[] tree; //动态内存分配最后要回收
    return 0;
}